عملیات ضرب دکارتی (Cartesian Product) در جبر رابطه‌ای

عملیات ضرب دکارتی که با نماد × نمایش داده می‌شود، یکی از عملیات‌های پایه در جبر رابطه‌ای است. این عملیات برای ترکیب هر ردیف از یک جدول (رابطه) با هر ردیف از جدول دیگر استفاده می‌شود و نتیجه آن یک جدول جدید است که شامل تمام ترکیب‌های ممکن از ردیف‌های دو جدول می‌باشد.

تعریف عملیات ضرب دکارتی

فرمول کلی برای عملیات ضرب دکارتی به صورت زیر است:

R×S

• $R$: جدول (رابطه) اول.
• S: جدول (رابطه) دوم.
• نتیجه: جدولی که شامل تمامی ترکیب‌های ممکن از ردیف‌های R و S است.

نحوه عملکرد

برای هر ردیف در جدول R، همه ردیف‌های جدول S ترکیب می‌شوند و به این ترتیب نتیجه شامل تمامی ردیف‌های جدید خواهد بود. به تعداد ردیف‌های جدول R و S در نتیجه، تعداد کل ردیف‌ها به‌دست‌می‌آید.

مثال

فرض کنید دو جدول محصولات و فروشندگان به صورت زیر داریم:

جدول محصولات:

محصول	قیمت
کتاب	100
قلم	20

جدول فروشندگان:

نام فروشنده	شهر
علی	تهران
سارا	مشهد

عملیات ضرب دکارتی روی این دو جدول به صورت زیر خواهد بود:

$$\text{محصولات}\times \text{فروشندگان}$$

نتیجه این عملیات به صورت زیر خواهد بود:

محصول	قیمت	نام فروشنده	شهر
کتاب	100	علی	تهران
کتاب	100	سارا	مشهد
قلم	20	علی	تهران
قلم	20	سارا	مشهد

در این نتیجه، هر ردیف از جدول محصولات با هر ردیف از جدول فروشندگان ترکیب شده است.

ویژگی‌های عملیات ضرب دکارتی

1. حجم داده‌ها: تعداد ردیف‌های نتیجه برابر است با حاصل‌ضرب تعداد ردیف‌های جدول R و تعداد ردیف‌های جدول S. به عنوان مثال، اگر جدول R شامل m ردیف و جدول$S$ شامل n ردیف باشد، تعداد ردیف‌های نتیجه m×n خواهد بود.
2. حفظ اطلاعات: در ضرب دکارتی، تمام اطلاعات هر دو جدول در نتیجه حفظ می‌شود. به همین دلیل، تعداد ستون‌های نتیجه برابر با مجموع تعداد ستون‌های دو جدول است.
3. عدم فیلتر کردن: ضرب دکارتی تمام ترکیب‌های ممکن را شامل می‌شود و هیچ شرطی برای فیلتر کردن ردیف‌ها ندارد. بنابراین، این عملیات ممکن است باعث تولید جداول بسیار بزرگ شود.

کاربردهای عملیات ضرب دکارتی

1. تحلیل ترکیبی: ضرب دکارتی می‌تواند برای بررسی تمام ترکیب‌های ممکن بین دو مجموعه داده به کار رود، مانند ترکیب محصولات و فروشندگان.
2. پرس‌وجوهای پیچیده: در برخی موارد، ضرب دکارتی به عنوان یک مرحله مقدماتی برای پرس‌وجوهای پیچیده‌تر استفاده می‌شود، به ویژه در مواقعی که به ترکیب داده‌ها از جداول مختلف نیاز داریم.
3. مدل‌سازی داده‌ها: ضرب دکارتی می‌تواند در مدل‌سازی داده‌ها و تحلیل‌های آماری برای بررسی تعاملات مختلف بین موجودیت‌ها مفید باشد.

نتیجه‌گیری

عملیات ضرب دکارتی × ابزاری قدرتمند در جبر رابطه‌ای است که برای ترکیب داده‌ها از دو جدول مختلف استفاده می‌شود. این عملیات به ما امکان می‌دهد تا تمام ترکیب‌های ممکن از ردیف‌ها را بررسی کنیم، اما باید مراقب بود که در نتیجه، حجم داده‌ها ممکن است به طور قابل توجهی افزایش یابد. استفاده درست از ضرب دکارتی می‌تواند به تحلیل‌های پیچیده و مدل‌سازی داده‌های مختلف کمک کند.